Final Exam — Forecast & Variations

사거리 $R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\propto v_0^2$. 속력 2배 → $2^2=4$배.

불가능. 외력이 수평으로 없으므로 질량중심은 고정. 내가 칸의 길이 $L$만큼 칸에 대해 걸어도, 지면 기준 칸이 뒤로 가는 거리 $d=\dfrac{m}{m+M}L$. 극단적으로 칸 질량이 0이어도 $d=L$(딱 길이만큼), 칸에 질량이 있으면 그보다 덜 간다.

자전 → 큰 각운동량 $\vec L$을 갖는다. 각운동량은 보존(자이로 안정성)되려는 성질이 있어 총알이 텀블링(뒤집힘) 없이 축을 유지 → 똑바로 날아가 명중률·비행 안정성↑.

(i) 같다. 둘 다 같은 높이 $h$에서 출발 → 바닥에서 총 운동에너지 $=mgh$로 동일(에너지 보존, 굴림마찰은 일 안 함).

(ii) 구가 먼저. $mgh=\tfrac12 mv^2+\tfrac12 I\omega^2=\tfrac12 mv^2(1+\tfrac{I}{mR^2})$. $\;$구 $I=\tfrac25 mR^2$, 원기둥 $I=\tfrac12 mR^2$. 굴림계수 $\beta=I/mR^2$가 작을수록 빠르다: $v=\sqrt{\dfrac{2gh}{1+\beta}}$. 구($\beta=0.4$) > 원기둥($\beta=0.5$) → 구가 더 빠르다. (질량·반지름과 무관!)

외부 토크 없음 → $L=I\omega$ 보존. 팔을 당기면 $I\downarrow$ → $\omega\uparrow$. 운동에너지 $K=\tfrac12 I\omega^2=\dfrac{L^2}{2I}$는 $I\downarrow$라 증가. 늘어난 에너지는 내가 아령을 당기며 한 일(근육 일)에서 온다.

중력이 지지점 둘레로 토크 $\vec\tau=\vec r\times m\vec g$(수평 방향)를 준다. $\vec\tau=\dfrac{d\vec L}{dt}$라 $\vec L$이 크기는 그대로, 방향만 $\vec\tau$ 쪽으로 회전 → 팽이가 넘어지는 대신 세차(precession). $\Omega_p=\dfrac{\tau}{L}=\dfrac{mgr}{I\omega}$.

북을 +로: $v_{cm}=\dfrac{m(25)+2m(-20)}{3m}=\dfrac{25-40}{3}=-5$ m/s → 5 m/s 남쪽, (c).

$ma=mg\sin\theta-\mu_k mg\cos\theta$ → $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$. $m$ 소거 → $\mu_k,\theta$만, (c).

추력 $F_{thrust}=v_{rel}\dfrac{dM}{dt}=2800\times190=\boxed{5.3\times10^{5}\ \text{N}}$.

물리진자 $\omega=\sqrt{\dfrac{mgd}{I}}$, 한 끝 막대 $I=\tfrac13 m\ell^2$, $d=\ell/2$:

$$\omega=\sqrt{\frac{mg(\ell/2)}{\tfrac13 m\ell^2}}=\sqrt{\frac{3g}{2\ell}}\quad\Rightarrow\ \textbf{(b)}$$

회전 일 $W=\tau\theta$, 같은 $\theta$. $\tau_1=F\cdot L$, $\tau_2=\dfrac{F}{2}\cdot\dfrac{L}{2}=\dfrac{FL}{4}$ → $\dfrac{W_2}{W_1}=\dfrac{1}{4}$ → (a).

$K_{rot}=\tfrac12 I\omega^2=\tfrac12(\tfrac25 mR^2)(v/R)^2=\tfrac15 mv^2$, $K_{tr}=\tfrac12 mv^2$. 전체 $=\tfrac7{10}mv^2$. 비 $=\dfrac{1/5}{7/10}=\dfrac{2}{7}$ → (a).

(A) 중심축 $I_{cm}=\tfrac12 MR^2$, 평행축: $I=I_{cm}+MR^2=\tfrac32 MR^2$.

(B) $T=2\pi\sqrt{m/k}\propto\sqrt m$ → $4m$이면 $\sqrt4=2$배, $2T$.

각 점 속도 $=\vec v_{cm}+\vec\omega\times\vec r$. 접점 A: 0(순간정지축). 꼭대기 D: $2v_{cm}$(앞으로, 가장 김). 옆점들은 접점 A를 중심으로 한 회전처럼 — A에서 멀수록 길고, 방향은 A→그 점에 수직. 모든 점 속도는 접점 A를 중심으로 부채살 모양.

(a) $x(0)=A\cos\phi=0\Rightarrow\phi=\pm\tfrac\pi2$. $v(0)=-A\omega\sin\phi=-0.4\pi$. $A\omega=0.2\cdot2\pi=0.4\pi$ → $\sin\phi=1$ → $\boxed{\phi=\tfrac\pi2}$.

(b) $x(t)=0.2\cos\!\big(2\pi t+\tfrac\pi2\big)\;(=-0.2\sin 2\pi t)$.

(c) $t=0$에서 0, 곧바로 음으로 내려가 $t=\tfrac14 T$에서 $-0.2$, $t=\tfrac34 T$에서 $+0.2$. ($T=1$ s)

$\vec L$: 자전축을 따라 위쪽(오른손 자전 방향). 중력은 질량중심에 아래로 → $\vec\tau=\vec r\times m\vec g$는 수평, $\vec L$에 수직. 그래서 $\vec L$ 끝이 수평으로 끌려가며 세차.

(a) 각운동량 $L$ 보존. 줄의 장력은 항상 중심(구멍)을 향해 모멘트암이 0 → 외부 토크 0. 따라서 $L=I\omega=mr^2\cdot\dfrac vr=mrv$가 일정. (선운동량은 보존 안 됨 — 장력이 알짜 구심력.)

(b) $L$ 보존에서 $mr_iv_i=mr_fv_f$:

$$v_f=\frac{r_i}{r_f}v_i=\frac{0.40}{0.25}(0.80)=\boxed{1.28\ \text{m/s}}\quad(\omega_f=v_f/r_f=5.12\ \text{rad/s})$$

(c) 일-에너지 정리 $W=\Delta K$. $I_i=mr_i^2=0.0192$, $I_f=mr_f^2=0.0075$, $\omega_i=2$:

$$W=\tfrac12 I_f\omega_f^2-\tfrac12 I_i\omega_i^2=\tfrac12 m(v_f^2-v_i^2)=\tfrac12(0.12)(1.28^2-0.80^2)=\boxed{5.99\times10^{-2}\ \text{J}}$$

무기: 에너지 보존(스윙) ↔ 탄성충돌 공식(충돌). $v_{1i}=\sqrt{2gh}$, $v_{2i}=0$.

탄성충돌 공식 $v_{1f}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}=\dfrac{m-2m}{3m}v_{1i}=-\tfrac13 v_{1i}$, $\;v_{2f}=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}=\tfrac23 v_{1i}$.

(a) $h_1=\dfrac{v_{1f}^2}{2g}=\dfrac{(1/9)2gh}{2g}=\boxed{\dfrac h9}$ (왼쪽, 되튕겨 감), $\;h_2=\dfrac{(4/9)2gh}{2g}=\boxed{\dfrac{4h}{9}}$ (오른쪽).

(b) 둘 다 내려와 최저점에서 재충돌. 이번엔 $v_{1i}=+\sqrt{2gh}/3$(오른쪽), $v_{2i}=-2\sqrt{2gh}/3$(왼쪽). 일반 탄성충돌식($v_{1f}=\dfrac{(m_1-m_2)v_{1i}+2m_2v_{2i}}{m_1+m_2}$ 등)에 대입하면

$$v_{1f}=-\sqrt{2gh}\ (\text{왼쪽}),\qquad v_{2f}=0$$

→ 가벼운 공($m$)은 처음 높이 $h$까지 다시 오르고, 무거운 공($2m$)은 바닥에 정지(에너지·운동량이 가벼운 공으로 완전히 되돌아감). 멋진 결과!

(a) 구를 두께 $dr$의 얇은 껍질로 쌓는다. 껍질 하나 $dI=\tfrac23 r^2\,dm$, $dm=\rho\,4\pi r^2\,dr$:

$$I=\int_0^R \tfrac23 r^2(\rho 4\pi r^2)dr=\frac{8\pi\rho}{3}\frac{R^5}{5}=\frac{8\pi\rho R^5}{15}$$

$M=\tfrac43\pi R^3\rho\Rightarrow\rho=\dfrac{3M}{4\pi R^3}$ 대입 → $\boxed{I=\tfrac25 MR^2}$.

(b) 물리진자 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I_O}{Mgd}}$, $d=R+L$(피벗→구 중심), 평행축 $I_O=I_{cm}+Md^2=\tfrac25 MR^2+M(R+L)^2$:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{\tfrac25 MR^2+M(R+L)^2}{Mg(R+L)}}=2\pi\sqrt{\frac{\tfrac25 R^2+(R+L)^2}{g(R+L)}}\ \blacksquare$$

(i) 무기: 구심 방향 뉴턴 2법칙 + 에너지 보존. 떠나는 순간 $N=0$:

$$mg\cos\theta=\frac{mv^2}{R}\quad\text{(구심)},\qquad \tfrac12 mv^2=mgR(1-\cos\theta)\quad\text{(에너지)}$$

$v^2$ 소거: $g\cos\theta=2g(1-\cos\theta)\Rightarrow\boxed{\cos\theta=\tfrac23}$ ($\theta\approx48.2^\circ$). 질량·$R$·$g$ 전부 무관.

(ii) 떠나는 점: 높이(지면 기준) $R+R\cos\theta=\tfrac53 R$, 속력 $v=\sqrt{2gR/3}$, 속도는 수평과 각 $\theta$. 이후 포물체로 풀어 지면 도달까지 시간 $t$ → 수평거리. (대수 계산 후) 착지점은 구 접점에서 수평으로 $x=\dfrac{2\sqrt2}{27}\big(10-\sqrt{10}\big)R$ 떨어진 곳.

무기: 각운동량 보존(피벗 둘레) — 피벗의 충격력은 토크 0.

(a) 충돌 직전 총알 각운동량 $L=m v\ell$(피벗에서 모멘트암 $\ell$). 박힌 직후 $L=I\omega$, $I=(M+m)\ell^2$ → $\omega=\dfrac{mv}{(M+m)\ell}$. $L=mv\ell$ 보존.

(b) $K_i=\tfrac12 mv^2$, $K_f=\tfrac12 I\omega^2=\dfrac{(mv\ell)^2}{2(M+m)\ell^2}=\dfrac{m^2v^2}{2(M+m)}$. 손실비 $\dfrac{K_i-K_f}{K_i}=1-\dfrac{m}{M+m}=\boxed{\dfrac{M}{M+m}}$.

(a) 평행축으로 $I$ 합성. 회전축 = 한 다리(막대 1, 축 위에 놓여 $I_1=0$). 가로대(막대 2)는 한 끝이 축에 닿아 막대를 따라 분포($I_2=\tfrac13 mL^2$). 반대 다리(막대 3)는 축에서 거리 $L$만큼 평행($I_3=mL^2$):

$$I=0+\tfrac13 mL^2+mL^2=\boxed{\tfrac43 mL^2}$$

(b) 에너지 보존. 수평→연직 낙하에서 각 막대 CM의 하강 $d_i$ = 축으로부터의 수직거리: 가로대 CM은 $L/2$, 반대 다리 CM은 $L$(막대 1은 축 위라 0). $\sum m_id_i=m\tfrac L2+mL=\tfrac32 mL$:

$$\Big(\textstyle\sum m_i d_i\Big)g=\tfrac12 I\omega^2\ \Rightarrow\ \omega=\sqrt{\frac{2g\sum m_id_i}{I}}=\sqrt{\frac{2g\cdot\tfrac32 mL}{\tfrac43 mL^2}}=\sqrt{\frac{9g}{4L}}=\boxed{\frac32\sqrt{\frac gL}}$$

$L=0.6$: $\omega=\tfrac32\sqrt{9.8/0.6}\approx6.1$ rad/s.