일반물리 · 기말 · 유력 출제 (교수님 강조)

일반물리 기말 — 유력 출제 문제 모음

교수님이 '시험에 낼 것'이라 강조한 회전 동역학 5문제 — 실제 화면·판서와 함께, 풀이는 눌러서 펼치기

노트 정보 출처: 데니즈(Deniz) 교수님이 기말 직전 "시험에 낼 것"이라며 직접 보여준 화면 사진 7장(= 문제 5개). 빨간 글씨로 시험비중 ★★(파이프)·★(시소)까지 표시해 주셨다. · 공통점: 5문제 전부 회전 동역학(Ch 10–11) — 토크·관성모멘트·각운동량·굴림. 기말의 심장이다. · 구성: 각 문제마다 ① 교수님이 보여준 실제 화면, ② 문제 전문, ③ 풀이는 눌러서 펼치기(교수님 판서 방식 그대로), ④ 가능한 경우 교수님 실제 판서 사진. · 작성일: 2026-06-03

한눈 정리 — 유력 출제 5문제

#	문제	유형	비중	핵심 결과
1	강철 파이프, 30° 경사면 굴림	굴림 + 마찰력	★★	$a=\tfrac12 g\sin\theta,\; f=\tfrac12 Mg\sin\theta$
2	구 + 블록 + 도르래(테 질량 $M$)	각운동량·토크 / 에너지	★	$a=\dfrac{m_1 g}{m_1+m_2+M}$
3	무거운 도르래 Atwood($I,R$)	연립 + $I\alpha=\tau$	★	$a=\dfrac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+I/R^2}$
4	실패(spool) 당기기	순간 접촉축 굴림	★	$v=\sqrt{\tfrac{4T(R-r)L}{3mR}},\; f=\tfrac{T(R+2r)}{3R}$
5	시소(아빠+딸+막대)	각운동량 + 토크	★	$\alpha=\dfrac{2(m_f-m_d)g\cos\theta}{\ell\left[\tfrac{M}{3}+m_f+m_d\right]}$

풀이 전략의 공통 뼈대: ① 회전 대상의 관성모멘트 $I$ 결정 → ② 축을 영리하게 선택(굴림이면 접점=순간고정축으로 잡아 마찰·수직항력을 토크식에서 제거) → ③ $\tau=I\alpha$ 또는 각운동량 $L=I\omega$·보존 → ④ 굴림 구속 $v=\omega R,\ a=\alpha R$ → ⑤ 필요하면 CM 뉴턴 2법칙으로 마찰력 회수.

§1 강철 파이프 경사면 굴림 시험비중 ★★

유력문제 1 · 굴림 + 접점 마찰력 시험비중 ★★★★★

EXAMPLE 11. 질량 360 kg의 강철 파이프(thin pipe)가 수평과 30° 기울어진 경사면을 미끄러짐 없이 굴러 내려온다. (a) 가속도는? (b) 파이프와 경사면 접점에 작용하는 마찰력의 크기는?

강철 파이프 경사면 굴림 강조 화면 — 교수님이 빨간 글씨 "시험비중 ★★"로 강조해 보여준 실제 화면 (EXAMPLE 11)

1단계 — 관성모멘트. 파이프(얇은 관, hoop)이므로 CM 축에 대해 $I_{cm}=MR^2$.

2단계 — 축 선택(교수님 방식). 굴림에서는 접점을 순간고정축으로 잡는다. 그러면 수직항력 $N$과 마찰력 $f$는 접점을 지나(모멘트암 0), 무게 $M\vec g$의 경사 성분만 토크를 만든다.

$$\tau_{P}=MgR\sin\theta$$

접점에 대한 관성모멘트는 평행축 정리로

$$I_P=I_{cm}+MR^2=MR^2+MR^2=2MR^2$$

3단계 — $\tau=I\alpha$.

$$MgR\sin\theta=2MR^2\,\alpha\;\Rightarrow\;\boxed{\alpha=\frac{g\sin\theta}{2R}}$$

굴림 구속 $a=\alpha R$이므로

$$\boxed{a=\frac{g\sin\theta}{2}}=\frac12(9.8)(\sin30^\circ)=\frac12(9.8)(0.5)=2.45\ \mathrm{m/s^2}$$

4단계 — 마찰력(CM 뉴턴 2법칙). 경사 방향으로

$$Mg\sin\theta-f=Ma=M\cdot\frac{g\sin\theta}{2}$$ $$\boxed{f=\frac12 Mg\sin\theta}=\frac12(360)(9.8)(0.5)\approx 882\ \mathrm{N}$$

검산·포인트 가속도엔 $M,R$이 모두 약분돼 질량·반지름과 무관(파이프면 무조건 $a=\tfrac12 g\sin\theta$). 질량 360 kg과 30°는 마찰력 수치에만 쓰인다. CM 축으로 풀어도($Mg\sin\theta-f=Ma,\ fR=I_{cm}\alpha=MR^2\tfrac aR$) 같은 결과가 나온다 — 교수님은 접점 축이 더 빠르다고 강조.

교수님 판서 — 파이프 굴림 풀이 — 교수님 실제 판서 (Ch11 노트): 접점 축 → $I=2MR^2$ → $\alpha=g\sin\theta/2R$

§2 구 + 블록 + 도르래 각운동량·토크

유력문제 2 · 각운동량/토크로 선가속도 (Example 11.4)★★★

질량 $m_1$인 구와 질량 $m_2$인 블록이, 반지름 $R$이고 테두리(thin rim) 질량이 $M$인 도르래에 걸린 가벼운 줄로 연결되어 있다(살(spoke)의 질량은 무시). 블록은 마찰 없는 수평면 위를 미끄러진다. 각운동량과 토크의 개념을 써서 두 물체의 선가속도를 구하라. (Figure 11.6)

구+블록+도르래 강조 화면 — 교수님이 강조해 보여준 실제 화면 (Example 11.4 · Figure 11.6)

풀이 1 — 각운동량·토크(교수님 1차 풀이). 도르래 축을 원점으로 전체 각운동량을 잡는다. 줄이 미끄러지지 않으므로 모든 부분의 속력 $v$는 같고 $\omega=v/R$.

도르래(thin rim, $I=MR^2$): $L_{rim}=I\omega=MR^2\cdot\tfrac vR=MRv$
블록 $m_2$: $L_{m_2}=r_\perp p=R\,(m_2 v)=m_2Rv$
구 $m_1$: $L_{m_1}=R\,(m_1 v)=m_1Rv$

$$L_{TOT}=(M+m_1+m_2)Rv$$

시간 미분 → 외부 토크. 외부 토크는 구의 무게만(블록 무게·수직항력은 모멘트암 0):

$$\frac{dL_{TOT}}{dt}=(m_1+m_2+M)R\,a=\tau_{ext}=m_1 g R$$ $$\boxed{a=\frac{m_1 g}{m_1+m_2+M}}$$

풀이 2 — 에너지(교수님 검산). 정지 출발, 구가 높이 $h$ 내려갈 때 $v^2=2ah$:

$$m_1 g h=\tfrac12 m_1 v^2+\tfrac12 m_2 v^2+\tfrac12\underbrace{(MR^2)}_{I}\Big(\tfrac vR\Big)^2=\tfrac12(m_1+m_2+M)v^2$$ $$\Rightarrow\ a=\frac{m_1 g}{m_1+m_2+M}\quad(\text{동일})$$

포인트 테두리(rim) 도르래라 $I=MR^2$이고, $\tfrac12 I\omega^2=\tfrac12 Mv^2$가 되어 도르래가 마치 질량 $M$이 더 매달린 것처럼 분모에 그대로 더해진다. 줄 장력을 도입하지 않고 전체계 각운동량으로 한 번에 푸는 것이 이 문제의 묘미.

교수님 판서 — 각운동량 풀이 — 교수님 판서 ①: 전체 각운동량 $L_{TOT}=(M+m_1+m_2)Rv$ → $a$

교수님 판서 — 에너지 검산 — 교수님 판서 ②: 에너지 보존으로 같은 $a$ 검산

§3 무거운 도르래 Atwood 두 장력 연립

유력문제 3 · 관성모멘트 있는 도르래 (Example 3)★★★

두 질량 $m_1,\ m_2$가, 반지름 $R$이고 축에 대한 관성모멘트가 $I$인 도르래에 미끄러짐 없이 걸린 줄로 매달려 있다(도르래는 마찰 없이 회전). 두 질량의 가속도를 구하라. (Figure 13.9a)

무거운 도르래 Atwood 강조 화면 — 교수님이 강조해 보여준 실제 화면 (EXAMPLE 3)

핵심(교수님 빨강 강조): 도르래에 질량이 있으면 양쪽 장력이 다르다 $T_1\neq T_2$. 미지수는 $T_1,T_2,a$ 셋. $m_2$가 내려가고 $m_1$이 올라간다고 두면(가정):

각 질량 뉴턴 2법칙:

$$①\quad m_2g-T_2=m_2 a$$ $$②\quad T_1-m_1g=m_1 a$$

도르래 회전 $I\alpha=\tau$, $a=\alpha R$:

$$③\quad (T_2-T_1)R=I\alpha=\frac{Ia}{R}\;\Rightarrow\;T_2-T_1=\frac{Ia}{R^2}$$

①+② 하면 $(m_2-m_1)g-(T_2-T_1)=(m_1+m_2)a$. ③ 대입:

$$(m_2-m_1)g-\frac{Ia}{R^2}=(m_1+m_2)a$$ $$\boxed{a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2}}}$$

포인트·극한 도르래의 효과는 분모에 $I/R^2$(유효질량)로 더해진다. $I\to0$이면 보통 Atwood $a=\tfrac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}$로 환원. 테두리 도르래($I=MR^2$)면 $I/R^2=M$이 되어 §2와 같은 구조. 장력을 $T_1=T_2$로 두는 실수가 가장 흔한 오답.

교수님 판서 — Atwood 연립 — 교수님 판서: $T_1\neq T_2$ 강조, 식 ①②③ 연립

§4 실패(Spool) 당기기 Example 10.14

유력문제 4 · 순간 접촉축 굴림 (Pulling on a Spool)★★★★

질량 $m$, 바깥 반지름 $R$의 원통형 실패(spool)가 마찰 있는 책상 위에 정지해 있다. 반지름 $r$인 축(axle)에 감은 가벼운 줄을, 일정한 수평력 $T$로 오른쪽으로 당긴다. 실패는 미끄러짐 없이 거리 $L$만큼 굴러간다(굴림마찰 없음). (A) CM의 최종 병진 속력을 구하라. (B) 마찰력 $f$를 구하라. (Figure 10.27)

실패 당기기 강조 화면 — 교수님이 강조해 보여준 실제 화면 (Example 10.14, Pulling on a Spool)

메모 이 문제는 강의 판서엔 풀이가 없고 교수님이 "낼 것"이라며 화면으로만 보여준 표준 교재(Serway) 예제다. 아래는 교수님의 단골 기법인 순간 접촉축으로 재구성한 풀이. (줄은 축 아래쪽에서 수평으로 나온다고 가정 — 접점에서의 모멘트암 $R-r$. 솔리드 실패 $I_{cm}=\tfrac12 mR^2$.)

1단계 — 접점 $P$를 순간고정축으로. $N$·중력·마찰은 $P$를 지나거나 $P$ 바로 위를 지나 토크가 없고, 수평력 $T$만 토크를 만든다. 모멘트암은 줄의 높이 $=R-r$:

$$\tau_P=T(R-r),\qquad I_P=I_{cm}+mR^2=\tfrac12 mR^2+mR^2=\tfrac32 mR^2$$

2단계 — 각가속도·선가속도.

$$T(R-r)=\tfrac32 mR^2\,\alpha\;\Rightarrow\;a=\alpha R=\frac{2T(R-r)}{3mR}$$

(A) 최종 속력 — 정지 출발, 등가속 $v^2=2aL$:

$$\boxed{v_{cm}=\sqrt{2aL}=\sqrt{\frac{4T(R-r)L}{3mR}}}$$

(B) 마찰력 — CM 뉴턴 2법칙 $T-f=ma$:

$$f=T-ma=T-\frac{2T(R-r)}{3R}=\boxed{\frac{T(R+2r)}{3R}}$$

극한 점검 축이 매우 가늘면($r\ll R$) 친숙한 결과 $a\approx\dfrac{2T}{3m}$, $v_{cm}\approx\sqrt{\dfrac{4TL}{3m}}$, $f\approx\dfrac{T}{3}$로 깔끔히 환원된다. 실패 문제는 줄이 축의 위/아래 어디서 나오는지에 따라 모멘트암($R-r$ 또는 $R+r$)과 굴림 방향이 바뀌니, 시험에서 그림을 먼저 확인할 것.

§5 시소(The Seesaw) 시험비중 ★

유력문제 5 · 각운동량 + 토크 (Example 11.6) 시험비중 ★★★★

질량 $m_f$인 아버지와 질량 $m_d$인 딸이 시소 양 끝, 중심 피벗에서 같은 거리에 앉아 있다. 시소는 질량 $M$, 길이 $\ell$인 강체 막대로 모형화되며 마찰 없이 피벗된다. 어느 순간 연직면 안에서 각속도 $\omega$로 회전한다. (A) 계의 각운동량 크기의 식을 구하라. (B) 시소가 수평과 각 $\theta$를 이룰 때 각가속도 크기의 식을 구하라. (Figure 11.9)

시소 강조 화면 — 교수님이 빨간 글씨 "시험비중 ★"로 강조해 보여준 실제 화면 (Example 11.6, The Seesaw)

(A) 각운동량. 두 사람은 피벗에서 $\ell/2$, 속력 $v=\omega\,\ell/2$. 막대는 중심축 $I_{cm}=\tfrac1{12}M\ell^2$. 부분별 합:

$$L_f=m_f v\tfrac{\ell}{2}=m_f\omega\tfrac{\ell^2}{4},\quad L_d=m_d\omega\tfrac{\ell^2}{4},\quad L_{rod}=\tfrac1{12}M\ell^2\,\omega$$ $$\boxed{L_{TOT}=\frac{\ell^2}{4}\,\omega\left[m_f+m_d+\frac{M}{3}\right]}$$

(동등하게 $L=I_{TOT}\omega$, $I_{TOT}=\tfrac1{12}M\ell^2+(m_f+m_d)(\ell/2)^2=\tfrac{\ell^2}{4}[m_f+m_d+\tfrac M3]$.)

(B) 각가속도. 외부 토크는 두 무게의 중력 토크. 수평과 각 $\theta$일 때 각 무게의 모멘트암은 $\tfrac{\ell}{2}\cos\theta$:

$$\sum\tau=(m_f-m_d)g\,\frac{\ell}{2}\cos\theta=I_{TOT}\,\alpha$$ $$\boxed{\alpha=\frac{(m_f-m_d)g\,\tfrac{\ell}{2}\cos\theta}{\tfrac{\ell^2}{4}\left[m_f+m_d+\tfrac M3\right]}=\frac{2(m_f-m_d)g\cos\theta}{\ell\left[m_f+m_d+\dfrac{M}{3}\right]}}$$

포인트 (A)는 $I_{TOT}\omega$, (B)는 $\sum\tau=I_{TOT}\alpha$ — 같은 $I_{TOT}$를 두 번 쓴다. 막대는 $M/3$으로 들어가고(중심막대 $\tfrac1{12}M\ell^2=\tfrac{\ell^2}{4}\cdot\tfrac M3$), $\theta=0$(수평)에서 $\cos\theta=1$로 $\alpha$ 최대, $\theta=90^\circ$에서 0. $m_f=m_d$면 균형이라 $\alpha=0$.

교수님 판서 — 시소 각운동량 — 교수님 판서 ① (Ch15 노트 도입부): 시소 각운동량 $L_{TOT}$

교수님 판서 — 시소 각가속도 — 교수님 판서 ②: 중력 토크 → 각가속도 $\alpha$

· · ·

마무리 — 시험장에서

굴림 문제(파이프·실패·바퀴) → 망설이지 말고 접점을 축으로. 마찰·수직항력이 사라져 식이 한 줄로 준다.
도르래에 질량/관성모멘트가 있으면 → 반드시 $T_1\neq T_2$, 분모에 $I/R^2$(또는 테두리면 $M$) 추가.
여러 물체가 한 줄로 묶인 계(구+블록+도르래) → 전체 각운동량 $L_{TOT}$ 한 방으로, 장력 안 꺼내도 됨. 에너지로 검산.
피벗 막대(시소·미터자·진자) → $I_{TOT}$는 부분 합(평행축 정리), 토크는 모멘트암 $d\cos\theta$.
개념·전체 정리는 → 일반물리 기말 — 교과서형 정리노트 참고.