일반물리 기말 — 교과서형 정리노트
8.3 퍼텐셜에너지 곡선부터 Ch15 진동까지 — 강의 PPT·교수님 판서 기반 통합 교과서
Contents
§0 기말 한눈 지도 출제 무게중심
| 단원 | 주제 | 대표 유형 | 비중·메모 |
|---|---|---|---|
| 8.3 | 퍼텐셜에너지 곡선 · 일률 | 곡선 읽기(turning point·평형 안정성), \(F=-dU/dx\), \(P=\vec F\cdot\vec v\) | 개념+계산 |
| 9 | 운동량·충격량·질량중심·충돌·로켓 | 운동량 보존, 탄성/비탄성, CM 적분, 로켓식 | 계산형 |
| 10 | 회전 운동학·관성모멘트·각운동량 | \(I\) 유도/표, 평행축, \(L=r\times p\), \(L_z=I\omega\) | 핵심 |
| 11 | 토크·회전 동역학·굴림·세차 | \(I\alpha=\tau\), 굴림, 각운동량 보존 | 최다 출제 ★★ |
| 15 | 진동(SHM·진자·감쇠·공명) | \(\omega=\sqrt{k/m}\), 진자 주기, 감쇠/공명 | 유도+계산 |
교수님이 직접 강조한 유력 출제 5문제는 전부 Ch10–11 회전 동역학이다(강철 파이프 굴림 ★★, 구+블록+도르래, 무거운 도르래 Atwood, 실패 당기기, 시소 ★). → 유력 출제 문제 모음에서 풀이 토글로 정리. 또한 시험은 5문항 → 3문항 + 짧은 객관식/개념(60점/40점) 구성이라고 안내하셨다(Ch10 판서).
§1 선행 복습 일·에너지·뉴턴 법칙
기말 범위는 "에너지 곡선 읽기 → 운동량 보존 → 회전으로 확장 → 진동"으로 이어진다. 출발점은 익숙한 세 도구다.
Ch10 회전은 이 식들의 회전판 대응물(\(x\!\to\!\theta,\ v\!\to\!\omega,\ a\!\to\!\alpha,\ m\!\to\!I,\ F\!\to\!\tau,\ p\!\to\!L\))을 만드는 작업이고, Ch15 진동은 \(F=-kx\)라는 특정 힘에 뉴턴 2법칙을 적용해 미분방정식을 푸는 일이다.
§2 Ch8.3 퍼텐셜에너지 곡선 Reading a Potential Energy Curve
2.1 보존력과 퍼텐셜에너지 한 줄 복습
힘이 위치만의 함수이고 한 일이 경로에 무관하면 보존력이다. 동치로 임의 닫힌 경로에서 \(\oint\vec F\cdot d\vec r=0\). 이때만 퍼텐셜에너지를 정의할 수 있다.
2.2 퍼텐셜에너지 곡선 읽기 8.3의 핵심
1차원 보존력장에서 에너지 보존을 속도에 대해 풀면, 곡선만 보고 운동을 읽을 수 있다.
$$E=\tfrac12 mv^2+U(x)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v^2=\frac{2}{m}\big(E-U(x)\big)}$$좌변이 음수가 될 수 없으므로 입자는 \(U(x)\le E\)인 영역에만 존재한다.
| 곡선 특징 | 물리적 의미 |
|---|---|
| \(U(x)=E\) (곡선·수평선 교점) | Turning point: \(v=0\), 멈췄다 방향 반전 |
| \(E>U\) 클수록 | \(v\) 큼 (\(E-U=K\)) |
\(E| Forbidden region (금지 영역, \(v^2<0\)) | |
| 두 turning point 사이 갇힘 | Bound orbit(속박·주기 운동) |
| 한쪽으로 \(E>U\) 영원히 | Unbound orbit(turning point 1개) |
| \(\tfrac{dU}{dx}=0,\ \tfrac{d^2U}{dx^2}>0\) | 안정 평형(극소, 골) |
| \(\tfrac{dU}{dx}=0,\ \tfrac{d^2U}{dx^2}<0\) | 불안정 평형(극대, 봉우리) |
| \(\tfrac{dU}{dx}=0,\ \tfrac{d^2U}{dx^2}=0\) | 중립 평형(평평) |
퍼텐셜 \(U(x)=U_0\!\left(e^{-2(x-x_0)/b}-2e^{-(x-x_0)/b}\right)\)에 대해 힘과 \(F=0\)이 되는 \(x\)는?
$$F=-\frac{dU}{dx}=\frac{2U_0}{b}\Big(e^{-2(x-x_0)/b}-e^{-(x-x_0)/b}\Big)$$ $$F=0\ \Rightarrow\ e^{-2(x-x_0)/b}=e^{-(x-x_0)/b}\ \Rightarrow\ \boxed{x=x_0}\ (\text{안정 평형, 곡선의 골})$$
2.3 일률 (Power)
5.00 kg 블록을 30° 경사면 위로 \(v_i=8.00\) m/s로 쏘아 올렸더니 3.00 m 가서 멈췄다. (a) \(\Delta K\), (b) \(\Delta U\), (c) 마찰력, (d) \(\mu_k\)?
(a) \(\Delta K=0-\tfrac12(5)(8^2)=-160\,\mathrm J\). (b) \(\Delta U=mgd\sin30^\circ=(5)(9.8)(3)(0.5)=73.5\,\mathrm J\).
(c) \(\Delta K+\Delta U=W_{fric}=-f d\): \(-160+73.5=-3f\Rightarrow f\approx 28.8\,\mathrm N\). (d) \(f=\mu_k mg\cos30^\circ\Rightarrow \mu_k\approx 0.68\).
퍼텐셜 \(U(x)\)가 \(x=x_0\)에서 극대(봉우리)다. 이 평형은 안정/불안정/중립 중 무엇이며, \(x_0\)에 놓인 입자에 작은 변위를 주면 어떻게 되나?
풀이 보기
극대 → \(d^2U/dx^2<0\) → 불안정 평형. 작은 변위가 생기면 \(F=-dU/dx\)가 변위를 키우는 방향(봉우리에서 굴러떨어짐)으로 작용해 평형에서 멀어진다.
답. 불안정 평형, 멀어진다.
§3 Ch9 선운동량 · 충돌 · 로켓 Linear Momentum
3.1 운동량 보존과 충격량
충격량: \(\displaystyle \vec I=\int_0^{\Delta t}\vec F\,dt=\vec p'-\vec p\), 시간평균 힘 \(\bar{\vec F}=\dfrac{\vec p'-\vec p}{\Delta t}\).
3.2 질량중심 (Center of Mass)
$$\vec r_{CM}=\frac{\sum m_i\vec r_i}{\sum m_i}\xrightarrow{\text{연속}}\frac1M\int\vec r\,\rho\,dV,\qquad \vec P=M\vec v_{CM},\qquad M\vec a_{CM}=\vec F_{ext}$$길이 \(L\), 선밀도 \(\lambda=\lambda_0 (x/L)\): \(M=\int_0^L\lambda\,dx=\tfrac{\lambda_0L}{2}\), \(x_{CM}=\dfrac1M\int_0^L x\lambda\,dx=\dfrac{\lambda_0L^2/3}{\lambda_0L/2}=\boxed{\tfrac23 L}\). (균일 막대 \(L/2\)와 대조 — 무거운 끝쪽으로 치우침.)
3.3 충돌 — 비탄성 · 탄성(1D) · 2D
충돌은 고립계 → 운동량 항상 보존. 운동에너지는 탄성에서만 보존.
| 유형 | 보존 | 핵심식 |
|---|---|---|
| 완전비탄성(들러붙음) | 운동량만 | \(v_f=\dfrac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}\) |
| 탄성(1D) | 운동량+KE | \(v_{1f}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}\) \(v_{2f}=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}+\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i}\) |
탄성 특수경우: ① \(m_1=m_2\) → 속도 교환. ② \(v_{2i}=0,\ m_1\gg m_2\) → \(v_{1f}\approx v_{1i},\ v_{2f}\approx 2v_{1i}\). ③ \(m_2\gg m_1\)(벽) → \(v_{1f}\approx -v_{1i}\). 교수님은 공식 암기 대신 상대속도 반전 \(v_{1i}+v_{1f}=v_{2i}+v_{2f}\)을 유도해 연립.
2단계로 분리한다. ① 충돌(운동량만): \(m_1v_1=(m_1+m_2)v_f\). ② 스윙(에너지): \(\tfrac12(m_1+m_2)v_f^2=(m_1+m_2)gh\Rightarrow v_f=\sqrt{2gh}\). 합치면 \(v_1=\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\sqrt{2gh}\). (9.7 g 총알, 4.0 kg 블록, \(h=19\) cm → \(v_1\approx 8.0\times10^2\) m/s.)
3.4 로켓 방정식
질량 \(m\)인 공이 \(v\)로 같은 질량의 정지 공과 정면 탄성 충돌했다. 충돌 후 두 공의 속도는?
풀이 보기
\(m_1=m_2\) 탄성 특수경우 → 속도 교환: 친 공은 멈추고(\(v_{1f}=0\)), 맞은 공이 \(v\)로 나간다(\(v_{2f}=v\)).
§4 Ch10 회전 운동학 · 관성모멘트 · 각운동량 Kinematics of a Rigid Body
4.1 각운동학과 선–각 관계
병진의 모든 식이 그대로 회전으로 대응된다(교수님은 좌·우 2단으로 나란히 판서).
선–각: \(\boxed{v=r\omega,\quad a_t=r\alpha,\quad a_c=\dfrac{v^2}{r}=r\omega^2}\).
반지름 0.36 m 바퀴 위를 케이블이 미끄러짐 없이 지나고 엘리베이터가 \(a_T=0.47\) m/s²로 상승. \(\alpha=a_T/r=0.47/0.36=1.3\) rad/s². 5 s 동안 \(\Delta\theta=\tfrac12(1.3)(5^2)=16\) rad \(\approx 2.6\) 회전. \(t=1\) s에서 \(a_c=r\omega^2=0.36(1.3)^2=0.61\) m/s², 합가속도 \(|\vec a|=\sqrt{0.47^2+0.61^2}\approx0.77\) m/s².
4.2 회전 운동에너지와 관성모멘트
$$K=\sum\tfrac12 m_iv_i^2=\sum\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2=\tfrac12 I\omega^2,\qquad \boxed{I=\sum m_ir_i^2\xrightarrow{\text{연속}}\int r^2\,dm=\int\rho r^2\,dV}$$\(I\)는 회전 변화에 대한 저항으로, 질량뿐 아니라 축에서 질량이 얼마나 멀리 분포하는지에 의존하며 축 선택에 따라 달라진다.
4.3 평행축 정리 (Parallel-Axis Theorem)
4.4 각운동량과 외적
질량 \(M\), 길이 \(L\) 균일 막대의 한쪽 끝을 지나는 축에 대한 관성모멘트를 평행축 정리로 구하라.
풀이 보기
\(I_{CM}=\tfrac1{12}ML^2\), 끝은 CM에서 \(D=L/2\): \(I=\tfrac1{12}ML^2+M(L/2)^2=\tfrac1{12}ML^2+\tfrac14ML^2=\boxed{\tfrac13ML^2}\).
§5 Ch11 회전 동역학 토크 · 굴림 · 세차 (최다 출제 ★★)
5.1 토크와 회전운동방정식
5.2 각운동량 보존
5.3 굴림운동 (Rolling)
미끄러짐 없는 굴림 \(v_{CM}=\omega R\). 접점=순간고정축: 윗점 속도 \(2v\), 접점 \(0\). 굴림 문제는 접점을 축으로 잡으면 마찰·수직항력이 토크식에서 사라진다(유력문제 1·4의 핵심).
5.4 자이로스코프 세차
5.5 대표 예제 (판서)
연직으로 선 길이 \(\ell\) 막대가 끝점 둘레로 쓰러질 때 바닥에 닿는 순간 각속도? 에너지 보존 \(\tfrac12 I\omega^2=Mg\tfrac\ell2\), 끝축 \(I=\tfrac13M\ell^2\): \(\tfrac12(\tfrac13M\ell^2)\omega^2=Mg\tfrac\ell2\Rightarrow\boxed{\omega^2=\dfrac{3g}{\ell}}\).
길이 \(\ell\), 연직과 각 \(\theta\)인 원뿔진자의 연직축 둘레 각운동량이 \(L=\sqrt{\dfrac{m^2g\ell^3\sin^4\theta}{\cos\theta}}\)임을 보여라. \(T\cos\theta=mg,\ T\sin\theta=\dfrac{mv^2}{r},\ r=\ell\sin\theta\)에서 \(v^2=\dfrac{\ell g\sin^2\theta}{\cos\theta}\), \(L=mvr\) 대입.
교수님이 강조한 ① 강철 파이프 굴림(★★) ② 구+블록+도르래 ③ 무거운 도르래 Atwood ④ 실패 당기기 ⑤ 시소(★)는 전부 이 단원이다. 실제 화면·판서와 단계별 풀이는 → 유력 출제 문제 모음.
속이 찬 구와 속 빈 구(같은 \(M,R\))가 같은 경사면을 굴러 내려온다. 어느 것이 먼저 바닥에 닿나?
풀이 보기
접점 축 \(I_P=I_{CM}+MR^2\). 솔리드 \(I_{CM}=\tfrac25MR^2\)(작음) → \(I_P\) 작음 → \(\alpha=\tfrac{MgR\sin\theta}{I_P}\) 큼 → 가속도 큼. 속이 찬 구가 먼저(질량 분포가 축에 가까울수록 빨리 구른다). 답은 \(M,R\)과 무관.
§6 Ch15 진동 SHM · 진자 · 감쇠 · 공명
6.1 단순조화운동(SHM)과 해
복원력 \(F=-kx\)에 뉴턴 2법칙 → 2계 선형 미분방정식:
$$m\ddot x=-kx\ \Rightarrow\ \ddot x+\omega^2 x=0,\quad \omega=\sqrt{\tfrac km}$$
6.2 SHM 에너지 · 원운동 사영
$$K=\tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\cdot),\quad U=\tfrac12kA^2\cos^2(\cdot),\quad E=K+U=\boxed{\tfrac12kA^2}=\text{const},\quad v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$$SHM은 등속원운동의 한 축 사영이다(\(x=A\cos(\omega t+\phi)\)).
200 g 블록, \(k=5.00\) N/m, 진폭 5.00 cm. \(\omega=\sqrt{5/0.2}=5.0\) rad/s → \(T=2\pi/\omega=1.26\) s, \(v_{max}=\omega A=0.250\) m/s, \(a_{max}=\omega^2A=1.25\) m/s². (진폭을 2배로 해도 \(T\)·\(f\)는 불변, \(v_{max}\)·\(a_{max}\)만 2배.)
6.3 진자 — 단진자 · 물리진자 · 비틀림진자
막대(미터자)를 피벗에서 CM까지 \(d=1.00\) m인 물리진자로. 평행축정리 \(I=\tfrac1{12}ML^2+Md^2=\tfrac{13}{12}M\). \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{13/12}{9.8}}\approx2.09\) s. 같은 길이 단진자 \(T=2\pi\sqrt{1/9.8}\approx2.01\) s. 차이 \(\approx4.08\%\) (교수님 박스 결과).
6.4 감쇠진동과 강제진동·공명
저감쇠(\(\tfrac b{2m}<\omega_0\), 진동하며 감소) · 임계감쇠(\(=\), 가장 빨리 복귀) · 과감쇠(\(>\), 진동 없이 천천히).
단진자의 길이를 4배로 늘리면 주기는 몇 배가 되나? 또 질량을 2배로 하면?
풀이 보기
\(T=2\pi\sqrt{L/g}\)이므로 \(L\)이 4배 → \(T\)는 \(\sqrt4=\)2배. 주기는 질량과 무관이므로 질량 2배 → 변화 없음.
§7 시험 직전 공식 카드 Formula Cards
| 단원 | 꼭 외울 식 |
|---|---|
| 8.3 에너지곡선 | \(F=-\tfrac{dU}{dx}\) · \(v^2=\tfrac2m(E-U)\) · 안정성 \(\tfrac{d^2U}{dx^2}\) 부호 · \(P=\vec F\cdot\vec v\) |
| 9 운동량/충돌 | \(\vec P=\sum m\vec v\) 보존 · \(\vec I=\vec p'-\vec p\) · \(v_f=\tfrac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}\)(비탄성) · 탄성 \(v_{1f},v_{2f}\) · \(v_f-v_i=v_e\ln\tfrac{M_i}{M_f}\) |
| 10 회전운동학 | \(v=r\omega,\ a_t=r\alpha,\ a_c=r\omega^2\) · \(K=\tfrac12I\omega^2\) · \(I=\int r^2dm\) · \(I=I_{CM}+MD^2\) · \(L_z=I\omega\) |
| 11 회전동역학 | \(\tau=Fd\) · \(I\alpha=\tau\) · \(W=\int\tau d\varphi,\ P=\tau\omega\) · \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\) · 굴림 \(v=\omega R\)(접점=순간축) · \(\omega_p=\tfrac{Mgr_{CM}}{I\omega}\) |
| 15 진동 | \(\omega=\sqrt{k/m},\ T=2\pi\sqrt{m/k}\) · \(E=\tfrac12kA^2\) · 단진자 \(2\pi\sqrt{L/g}\) · 물리진자 \(2\pi\sqrt{I/mgd}\) · 감쇠 \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-(b/2m)^2}\) · 공명 \(\omega=\omega_0\) |
질량 \(M\), 반지름 \(R\)의 속이 찬 구가 높이 \(h\)에서 미끄러짐 없이 굴러 내려온다. 바닥에서 CM 속력은?
에너지 보존, \(I_{CM}=\tfrac25MR^2\), \(\omega=v/R\):
$$Mgh=\tfrac12Mv^2+\tfrac12\Big(\tfrac25MR^2\Big)\frac{v^2}{R^2}=\tfrac12Mv^2+\tfrac15Mv^2=\tfrac{7}{10}Mv^2$$ $$\Rightarrow\ v=\sqrt{\tfrac{10}{7}gh}$$구르는 물체는 \(\tfrac12mv^2\)보다 회전 \(\tfrac15mv^2\)만큼 에너지를 더 가지므로 미끄러질 때(\(\sqrt{2gh}\))보다 느리다.
강의 PPT + 교수님 판서 기반 · 유력 출제 문제 풀이는 유력 출제 문제 모음 참고