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일반물리 · 프로젝트

일반물리 팀프로젝트 — 실험 결과 정리

문이 쾅 닫힐 때 무엇이 문을 멈추는가 — 측정·모델 적합·물리적 타당성으로 본 결론

Contents

  1. §1 한눈에 보기 — 결론부터
  2. §2 실험: 무엇을 어떻게 측정했나
  3. §3 이론: 운동방정식과 6개 마찰 모델
  4. §4 데이터 처리: 자유회전 구간만 잘라내기
  5. §5 적합 결과: R²만으론 못 가린다
  6. §6 핵심: 물리적 타당성으로 판정
  7. §7 검증: 해석해 vs 수치 시뮬레이션
  8. §8 결론과 산출물

§1 한눈에 보기 결론부터

결론 문이 닫힐 때 각속도를 줄이는 주범은 경첩 마찰(건마찰)도 점성(스토크스)도 아닌, 공기저항(속도의 제곱에 비례하는 뉴턴 항 $c\omega^2$)이다. 이는 원논문 Klein et al. (AJP 2017)의 결론과 일치한다.

우리가 한 일을 한 줄로 요약하면 이렇다. 스마트폰 자이로스코프로 문 닫히는 각속도를 두 가지 세기로 측정 → 6개 마찰 모델을 데이터에 적합 → 적합 계수가 물리적으로 타당한지로 판정 → 공기저항이 지배한다는 결론을 실제 문으로 재현.

가장 중요한 교훈: 적합이 잘 된다고 옳은 모델은 아니다. 6개 모델 모두 데이터를 잘 맞췄지만($R^2\approx0.92$–$0.997$), 진짜 정답은 맞춰서 나온 계수가 물리적으로 말이 되는지를 따져야 나왔다(§6).

§2 Experiment 무엇을 어떻게 측정했나

실제 문에 스마트폰을 테이프로 붙이고, Phyphox 앱의 자이로스코프로 회전 각속도 $\omega(t)$ 를 약 460 Hz로 기록했다. 문을 두 번 닫았다 — 한 번은 세게(빠르게), 한 번은 약하게(느리게).

Phyphox
Phyphox — 스마트폰 내장 센서(자이로·가속도 등)를 실험 도구로 쓰는 무료 앱. 자이로스코프는 각속도를 직접 출력하므로, 가속도계만 쓸 때 필요한 $\omega=\sqrt{a_r/r}$ 환산 단계가 필요 없다(원논문 대비 측정 단순화).
기호의미값
$m$문의 질량13.7 kg
$w$문의 폭0.833 m
$h$문의 높이2.031 m
$r$회전축~스마트폰 거리0.759 m
$I=\tfrac13 mw^2$관성모멘트(얇은 판 근사)3.17 kg·m²
측정 기기Samsung SM-S931N, Phyphox~460 Hz
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그림 1. 두 슬램의 전체 자이로 신호와 분석 구간(음영). 날카로운 스파이크는 문이 문틀에 부딪히는 충돌이며 분석에서 제외한다.

§3 Theory 운동방정식과 6개 마찰 모델

문을 균일한 얇은 직사각형 판으로 보면, 경첩(수직축)에 대한 관성모멘트는 적분으로 구해진다.

관성모멘트 $$I=\int r_\perp^2\,dm=\rho\!\int_0^h\!\!\int_0^d\!\!\int_0^w (x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz \;\xrightarrow{\;d\ll w\;}\; I=\tfrac13 mw^2.$$

수직축 회전이라 중력은 토크를 만들지 않고, 운동을 막는 것은 마찰뿐이다. 마찰 토크가 일정·1차·2차 항을 모두 가진다고 두면, 뉴턴 제2법칙 $-I\,d\omega/dt=\tau_f$ 로부터 1차 비선형 미분방정식을 얻는다.

운동방정식 $$\tau_f=a+b\omega+c\omega^2 \;\Longrightarrow\; \frac{d\omega}{dt}=-(A+B\omega+C\omega^2),\qquad A=\tfrac aI,\;B=\tfrac bI,\;C=\tfrac cI.$$ 세 항은 각각 건마찰(경첩, 속도 무관) · 스토크스($\propto\omega$) · 뉴턴 공기저항($\propto\omega^2$)에서 온다.

각 항을 켜고 끄면 6개 해석해가 나온다(모두 직접 유도해 src/friction_models.py에 구현).

모델활성 항해석해 $\omega(t)$
D (건마찰)$A$$\omega_0-At$ (직선)
S (스토크스)$B$$\omega_0 e^{-Bt}$ (지수)
N (뉴턴)$C$$\omega_0/(1+C\omega_0 t)$ (1/t)
DS$A,B$$(\omega_0+\tfrac AB)e^{-Bt}-\tfrac AB$
SN$B,C$$B\omega_0/[(B+C\omega_0)e^{Bt}-C\omega_0]$
DN$A,C$$\sqrt{A/C}\,\tan(\arctan(\omega_0\sqrt{C/A})-\sqrt{AC}\,t)$

§4 Data Processing 자유회전 구간만 잘라내기

측정 신호는 세 구간으로 나뉜다: ① 문을 미는 가속 구간, ② 마찰만 작용하는 자유회전 감속 구간, ③ 문틀에 부딪히는 충돌 스파이크. 적합은 ②번 구간에만 한다.

충돌 직전, 문틀에 공기가 눌리며 감속이 오히려 빨라지는 짧은 구간(air-cushion)이 있다. 어떤 마찰 모델도 $|d\omega/dt|$ 를 증가시킬 수 없으므로 이 구간은 물리적으로 다른 효과 → 제외(논문도 동일하게 처리). 최종 분석 구간: 빠르게 $\omega$ 2.08→1.79 rad/s(0.86$\omega_0$), 느리게 0.60→0.27 rad/s.

§5 Fitting R²만으론 못 가린다

6개 모델을 scipy.optimize.curve_fit으로 적합했다. 결정계수 $R^2$ 는 다음과 같다.

케이스건마찰 D스토크스 S뉴턴 N관찰
빠르게0.9440.9340.924모두 비슷 → 구별 불가
느리게0.9880.9970.990곡률이 보임

빠른 슬램은 구간이 짧아(0.86$\omega_0$까지만 감소) 모든 모델이 거의 똑같이 잘 맞는다. 짧은 구간에선 모든 해가 직선처럼 보이기 때문이다 — 이게 논문이 경고한 "선형처럼 보인다고 건마찰이라 착각하는 함정"이다.

figure
그림 2. 느린 슬램의 6개 모델 적합. 직선인 건마찰(빨강)은 양 끝에서 데이터의 곡률을 벗어나고, 곡률을 가진 모델들이 데이터를 따라간다.
F-검정: 느린 슬램에서 건마찰(D)에 뉴턴 항을 더하면 적합이 극적으로 좋아진다 ($F_{D\to DN}\approx4\times10^3$, $p<0.001$). 즉 순수 직선(건마찰)은 통계적으로 부족하고 데이터가 곡률($\omega^2$ 항)을 요구한다.

§6 Physical Validity 핵심 — 물리적 타당성으로 판정

적합도만으로는 못 가리므로, 적합해서 나온 계수를 제1원리로 어림한 물리값과 대조한다 (이것이 논문의 결정 기준). 건마찰 $a/I=3\mu g/w$, 스토크스 $b/I\lesssim18\pi\eta w/m$, 뉴턴 $c/I\lesssim\tfrac32 C_D\rho A w/m$.

계수적합값 (빠름/느림)물리적 어림판정
$a/I$ (건마찰)$\mu$=0.031 / 0.0034$3\mu g/w$❌ 같은 문인데 $\mu$ 9배 차이
$b/I$ (스토크스)0.54 / 0.29$\sim6\times10^{-5}$❌ $10^3$–$10^4$배 과대
$c/I$ (뉴턴)0.27 / 0.68$\lesssim0.30$✅ 같은 자릿수 → 채택
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그림 3. 적합 계수 vs 물리적 추정. (왼쪽) 뉴턴 c/I는 추정값 0.30에 거의 일치, (가운데) 스토크스 b/I는 이론보다 10³~10⁴배 큼, (오른쪽) 건마찰의 함의 μ는 두 슬램에서 9배 불일치.

§7 Verification 해석해 vs 수치 시뮬레이션

손으로 푼 해석해가 맞는지 확인하기 위해, 운동방정식을 scipy.integrate.solve_ivp(RK45)로 직접 수치적분해 해석 곡선과 겹쳐 봤다.

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그림 4. 해석해(teal)와 수치적분(rust 점선)이 기계 정밀도 수준(~10⁻⁸ rad/s)에서 일치 → §3 해석해 유도가 정확함을 검증.

§8 Conclusion 결론과 산출물

최종 결론 문이 닫힐 때의 감속은 뉴턴 공기저항($\omega^2$)이 지배한다. 스토크스·건마찰은 물리적 타당성에서 탈락하고, 뉴턴 항만 적합·통계·차원분석을 모두 통과한다. 적합이 잘 된다고 옳은 모델이 아니며, 계수가 물리적으로 타당한지를 봐야 정답이 나온다.

산출물: 분석 코드·노트북·데이터·그림은 GitHub에, 보고서는 LaTeX(영문·한글) 두 버전으로 정리했다.

✏️ Quick Check §5–6

6개 모델 모두 $R^2>0.9$ 로 잘 맞았는데, 왜 "건마찰"이 정답이 아니라고 결론지었나?

풀이 보기

적합도($R^2$)는 모델을 가리지 못한다(특히 짧은 구간에선 모든 해가 직선처럼 보임). 건마찰을 가정해 나온 마찰계수 $\mu$ 가 빠름 0.031, 느림 0.0034로 9배 달라지는데, $\mu$ 는 재료 상수라 미는 세기에 따라 변할 수 없다. 즉 건마찰은 수치만 맞췄을 뿐 물리적으로 모순이다.

답. 적합도가 아니라 계수의 물리적 타당성으로 판정하면 건마찰은 기각된다.