Systems, Phase Plane & the Laplace Transform
시스템 ODE · 위상평면 · 라플라스 변환 — 기말 전 범위 한 권 정리
기말 범위는 두 흐름입니다. Part I — 미지수가 둘인 1계 시스템을 고유값으로 풀고, 그 해들이 그리는 그림(위상평면)을 마디·안장·중심·나선으로 분류하고, 비선형계(포식자–피식자·진자)를 임계점에서 선형화해 읽습니다. Part II — Laplace 변환으로 미분방정식을 통째로 대수로 바꿔 풀고, 해의 운명을 복소 $s$-평면의 극점 위치로 읽습니다. 두 Part는 한 점에서 만납니다 — 고유값 = 특성근 = s-평면의 극점.
PART I · SYSTEMS & THE PHASE PLANE — 시스템과 위상평면 (L21–25)
§1Linear Systems of ODEs — 1계 선형 시스템과 고유값 풀이
미지수가 둘인 1계 연립 미분방정식을 한 덩어리로 봅니다. $$\vec Y'=A\vec Y \iff \begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}.$$ 2계 ODE $y''+ay'+by=0$ 도 $z=y'$ 로 두면 이 꼴이 됩니다($\begin{bmatrix}y\\z\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}0&1\\-b&-a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y\\z\end{bmatrix}$) — 그래서 시스템이 더 일반적인 언어입니다.
1.1 The Key Idea — Exponential Solutions — 지수해 시도
스칼라 1계 $y'=ky$ 의 해가 $e^{kx}$ 였던 걸 흉내 내, $\vec Y(x)=e^{\lambda x}\vec V$ ($\vec V$ 상수벡터)를 시도합니다. 대입하면 $$\lambda e^{\lambda x}\vec V=Ae^{\lambda x}\vec V \iff A\vec V=\lambda\vec V.$$ 즉 $\vec Y=e^{\lambda x}\vec V$ 가 해 $\iff$ $\vec V$ 가 고유값 $\lambda$ 의 고유벡터(단 $\vec V\neq\vec 0$). 시스템 풀이가 곧 고유값 문제로 바뀝니다.
$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 의 고유값은 $$\det(A-\lambda I)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0$$ 의 근. ($a+d=\operatorname{tr}A$, $ad-bc=\det A$.) 이유: $\vec V\neq\vec0$ 인 해가 있으려면 $A-\lambda I$ 가 비가역이어야 하므로 $\det(A-\lambda I)=0$.
고유벡터는 $\lambda$ 를 알면 성분식 $\begin{cases}a v_1+b v_2=\lambda v_1\\ c v_1+d v_2=\lambda v_2\end{cases}$ 에서 구합니다. 두 식은 항상 같은 관계($v_1,v_2$ 사이 한 비례식)만 주므로, 고유벡터는 방향만 결정됩니다("$\vec V_1$ 에 비례하는 전부").
$A=\begin{bmatrix}4&-1\\2&1\end{bmatrix}$: $\lambda^2-5\lambda+6=0\Rightarrow\lambda=2,3$. $\lambda=2$ 에서 $4v_1-v_2=2v_1\Rightarrow v_2=2v_1$, 즉 $\vec V_1=\binom12$. $\lambda=3$ 에서 $\vec V_2=\binom11$. 일반해 $\vec Y=A_1e^{2x}\binom12+A_2e^{3x}\binom11.$
1.2 Complex Eigenvalues — 복소 고유값 → 실수해
$\lambda=\alpha\pm i\beta$, 복소 고유벡터 $\vec V=\vec V^R\pm i\vec V^I$ 이면, 복소해 $\vec Z=e^{(\alpha+i\beta)x}(\vec V^R+i\vec V^I)$ 의 실부·허부가 두 개의 실수 LI 해입니다(Euler): $$\vec Y_1=e^{\alpha x}\!\bigl(\cos\beta x\,\vec V^R-\sin\beta x\,\vec V^I\bigr),\quad \vec Y_2=e^{\alpha x}\!\bigl(\sin\beta x\,\vec V^R+\cos\beta x\,\vec V^I\bigr).$$ $\alpha$ 가 감쇠/성장(나선의 조임/풀림), $\beta$ 가 회전 주파수를 줍니다. Part II의 s-평면에서 "극점 $\alpha\pm i\beta$"가 똑같이 등장합니다.
1.3 Repeated Eigenvalue — 중근일 때 두 번째 해
중근 $\lambda$ 에 고유벡터가 하나뿐이면, 두 번째 해는 2계 ODE 중근과 같은 원리로 $x$ 를 곱해 만듭니다: $$\vec Y_2(x)=x\,e^{\lambda x}\vec V_1+e^{\lambda x}\vec W,\qquad (A-\lambda I)\vec W=\vec V_1$$ 로 일반화 고유벡터 $\vec W$ 를 결정합니다.
§2The Phase Plane — 위상평면과 분류
해 $\vec Y(x)$ 의 궤적(trajectory)은 $x:-\infty\to\infty$ 일 때 점 $(y_1(x),y_2(x))$ 가 그리는 방향 곡선입니다. 모든 해의 궤적을 모은 그림이 위상평면도(phase portrait). 시간 $x$ 를 지우고 "어디로 흐르는가"만 봅니다.
비영 고유값이면 위상평면 모양은 고유값으로 완전히 정해집니다. 외워야 할 분류표:
| 고유값 | 유형 | 흐름 |
|---|---|---|
| 실수, 서로 다름, 둘 다 $<0$ | Stable node 안정 마디 | 원점으로 수렴 |
| 실수, 서로 다름, 둘 다 $>0$ | Unstable node 불안정 마디 | 원점에서 발산 |
| 실수, 부호 다름 | Saddle 안장점 | 한 방향 수렴·한 방향 발산 |
| 복소 $\alpha\pm i\beta$, $\alpha=0$ | Center 중심 | 닫힌 타원(지속) |
| 복소, $\alpha\neq0$ | Spiral 나선 | $\alpha<0$ 수렴 / $\alpha>0$ 발산 |
| 중근, 고유벡터 2개 | Star node 별마디 | 직선 방사 |
| 중근, 고유벡터 1개 | Improper node | 한 방향으로 휘며 수렴/발산 |
$A=\begin{bmatrix}-1&-5\\1&-1\end{bmatrix}$ 의 위상평면 유형과 회전 방향은?
풀이 보기
$\operatorname{tr}=-2,\ \det=1+5=6$. $\lambda^2+2\lambda+6=0\Rightarrow\lambda=-1\pm i\sqrt5$. 복소, $\alpha=-1<0$.
답. Stable spiral(안정 나선), $c=1>0$ 이라 반시계.
§3Nonlinear Autonomous Systems — 비선형 자율계·임계점·선형화
우변이 $x$ 에 직접 의존하지 않는 $\vec Y'=\vec F(\vec Y)$ 를 자율계(autonomous)라 합니다. $\vec F(\vec y^*)=\vec 0$ 인 상수해 $\vec y^*$ 가 임계점(critical point) — 두 대수방정식 $f_1=f_2=0$ 으로 찾습니다.
임계점 근처를 가장 잘 근사하는 선형계는 야코비안을 임계점에서 평가한 것: $$\vec Z'=J(\vec y^*)\,\vec Z,\qquad J=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial y_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial y_2}\\[6pt]\dfrac{\partial f_2}{\partial y_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial y_2}\end{bmatrix}.$$ 각 임계점에서 $J$ 의 고유값으로 §2 분류를 적용합니다.
3.1 Predator–Prey (Lotka–Volterra) — 포식자–피식자
$$y_1'=y_1-y_1y_2,\qquad y_2'=y_1y_2-4y_2\qquad(y_1=\text{먹이},\ y_2=\text{포식자}).$$ $y_1y_2$ 는 만남(포식) 상호작용항입니다. 임계점: $f_2=y_2(y_1-4)=0,\ f_1=y_1(1-y_2)=0\Rightarrow(0,0),\ (4,1)$.
- $J(0,0)=\begin{bmatrix}1&0\\0&-4\end{bmatrix}$: $\lambda=1,-4$ → saddle.
- $J(4,1)=\begin{bmatrix}0&-4\\1&0\end{bmatrix}$: $\lambda=\pm2i$, $c=1>0$ → 반시계 center.
3.2 The Allee Effect — 저밀도 붕괴
보통 로지스틱 모델은 개체수가 적을수록 1인당(per-capita) 성장률이 커집니다(자원 여유). Allee 효과는 반대로, 개체수가 너무 적으면(짝짓기 상대를 못 찾고 무리 협력·방어가 무너져) 1인당 성장률이 오히려 떨어지는 현상입니다. 저밀도에서 성장률이 $0$ 이하로까지 내려가면 특히 강한(strong) Allee 효과 — 모델엔 보통 세제곱 항으로 들어갑니다(예: 먹이 성장률 $-y_1^2+7y_1-10$).
강한 Allee 효과에서 1인당 성장률의 부호가 바뀌는 개체수가 Allee 문턱(threshold)입니다. 아래 그림의 $-y_1^2+7y_1-10=-(y_1-2)(y_1-5)$ 에선 작은 근 $y_1=2$. 문턱보다 많으면 성장률 $>0$ 이라 수용량(carrying capacity) $5$ 로 회복, 적으면 성장률 $<0$ 이라 스스로 멸종으로 미끄러집니다. 위상평면에선 이 문턱이 saddle(불안정) 로 나타나, "회복"과 "멸종" 두 영역을 가르는 경계가 됩니다.
3.3 Basin of Attraction — 흡입역
어떤 안정 평형점으로 시간이 지나면 결국 빨려 드는 초기값 $(y_1(0),y_2(0))$ 들의 집합을 그 평형의 흡입역(basin of attraction)이라 합니다. 점근안정 평형은 자기 둘레에 열린 흡입역을 갖고, 위상평면은 흡입역들이 saddle의 안정 분리선(separatrix)을 경계로 나뉜 그림으로 볼 수 있습니다. 강한 Allee 효과에선 멸종 평형 $(0,0)$ 이 안정해져 흡입역을 가지므로, 양의 개체수에서 출발해도 그 흡입역 안이면 공멸로 갈 수 있습니다.
§4The Pendulum — 진자의 위상평면
길이 $\ell$ 진자: $F=ma$ 에서 $-mg\sin\theta=m\ell\theta''$, 즉 $$\theta''+\omega^2\sin\theta=0,\qquad \omega^2=g/\ell.$$ $y_1=\theta,\ y_2=\theta'$ 로 1계 시스템: $y_1'=y_2,\ y_2'=-\omega^2\sin y_1$. 자율·비선형의 대표 예제입니다.
임계점: $y_2=0,\ \sin y_1=0\Rightarrow y_1=n\pi$ (무한히 많음). 선형화 $J=\begin{bmatrix}0&1\\-\omega^2\cos y_1&0\end{bmatrix}$, $\cos(n\pi)=\pm1$ 두 경우뿐:
- even $n=0,\pm2,\dots$: $\lambda=\pm i\omega$ → center(매달린 안정 평형, 작은 진동).
- odd $n=\pm1,\pm3,\dots$: $\lambda=\pm\omega$ → saddle(거꾸로 선 불안정 평형).
PART II · THE LAPLACE TRANSFORM & THE s-PLANE — 라플라스 변환과 s-평면 (L26–28)
§5Laplace Prerequisites — 선행 개념 복습
Laplace 변환을 이해하려면 네 가지 도구가 필요합니다. 모두 이미 배운 것들이라 짧게만 짚습니다.
5.1 Improper Integrals — 이상적분
변환의 정의는 $\infty$까지 적분하는 improper integral입니다. 핵심은 단 하나 — 지수 감쇠가 "무한대 끝"을 죽인다는 사실: $$\int_0^{\infty} e^{-kx}\,dx = \left[-\tfrac1k e^{-kx}\right]_0^{\infty} = \frac1k \quad(k>0).$$ $k>0$일 때만 위끝 $e^{-k\infty}\to 0$이 되어 값이 존재합니다. 이 "$k>0$ 조건"이 곧 수렴역의 정체입니다.
5.2 Exponentials Eat Everything — 지수의 지배력
임의의 다항식·$\sin$·$\cos$보다 $e^{-sx}$($s$ 충분히 큼)가 빠르게 0으로 갑니다. 그래서 $e^{-sx}f(x)$의 $0\to\infty$ 적분이 대부분의 "쓸 만한" $f$에 대해 수렴합니다.
5.3 Complex Numbers & Euler — 복소수와 오일러
$s$-평면은 복소평면입니다. $s=\sigma+i\omega$로 적고, $e^{(\sigma+i\omega)x}=e^{\sigma x}(\cos\omega x+i\sin\omega x)$ (Euler)를 자유롭게 씁니다. 실수부 $\sigma$는 "크기 변화율(감쇠/성장)", 허수부 $\omega$는 "진동 주파수"를 담당합니다 — §7의 핵심.
5.4 Partial Fractions — 부분분수
역변환의 99%는 유리함수 $\dfrac{N(s)}{D(s)}$를 단순 조각으로 쪼개는 작업입니다. $$\frac{1}{(s-a)(s-b)} = \frac{1}{a-b}\!\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b}\right).$$ 이 한 줄을 자유자재로 다루면 §14가 전부 쉬워집니다.
§6Definition & Convergence — 정의와 수렴역
함수 $f(x)$ ($x\ge 0$)의 Laplace 변환은 $$F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_0^{\infty} e^{-sx}\,f(x)\,dx.$$ 이 적분이 수렴하는 $s$에 대해서만 정의됩니다. 표기: 소문자 $f(x)$ ↔ 대문자 $F(s)$, 또는 필기체 $\mathcal{L}(f)=F(s)$.
변환은 $x$-영역의 함수 $f$를 $s$-영역의 함수 $F$로 보내는 적분 연산자입니다. 가장 먼저 할 일은 "언제 존재하나"를 아는 것입니다.
$$\mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\}=\alpha\,F(s)+\beta\,G(s).$$ 적분이 선형이므로 변환도 선형. 거의 모든 계산이 이 성질에 기댑니다.
$f(x)=1$: $\displaystyle F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}\,dx=\frac1s$ ($s>0$일 때만 위끝이 0).
$f(x)=e^{ax}$: $\displaystyle F(s)=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)x}\,dx=\frac{1}{s-a}$ ($s>a$일 때만 수렴).
대부분의 함수에 대해 변환은 $s>s_0$ 형태의 영역에서 수렴합니다. 이 경계값 $s_0$를 abscissa of convergence(수렴 가로축)이라 합니다. 위 예에서 $f=1$이면 $s_0=0$, $f=e^{ax}$이면 $s_0=a$.
복소 $s=\sigma+i\omega$로 보면 수렴역은 "$\operatorname{Re}(s)>s_0$"인 오른쪽 반평면입니다. 이 그림이 다음 절의 출발점입니다.
정의로부터 $\mathcal{L}\{e^{3x}\}$와 그 수렴역을 구하라.
풀이 보기
$\displaystyle\int_0^\infty e^{-sx}e^{3x}dx=\int_0^\infty e^{-(s-3)x}dx=\frac{1}{s-3}$, 위끝이 0이 되려면 $s-3>0$.
답. $\dfrac{1}{s-3},\ s>3$. (극점이 $s=3$, 수렴역은 그 오른쪽.)
§7The s-Plane — 라플라스 평면: 극점·영점·안정성
여기가 이 노트의 심장입니다. $F(s)$는 복소변수 $s=\sigma+i\omega$의 함수이고, 보통 유리함수(다항식/다항식) 꼴입니다. $$F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}.$$ 이 함수를 복소평면(가로축 $\sigma=\operatorname{Re}s$, 세로축 $\omega=\operatorname{Im}s$) 위에 올려놓고 두 가지 특별한 점만 보면 됩니다.
- Pole(극점) — 분모가 0이 되는 $s$ ($D(s)=0$). $F$가 발산하는 점. 보통 $\times$로 표시.
- Zero(영점) — 분자가 0이 되는 $s$ ($N(s)=0$). $F=0$인 점. 보통 $\circ$로 표시.
극점이 해의 거동을 지배합니다. 영점은 각 성분의 "세기(계수)"에만 영향을 줍니다.
7.1 The Pole Dictionary — 극점 ↔ 시간영역 사전
부분분수로 $F$를 단순 조각으로 쪼개면, 각 조각의 역변환은 정해져 있습니다. 그래서 극점의 위치 하나가 그 항의 시간영역 모습 전체를 결정합니다.
| 극점 위치 (s-평면) | 대응 항 $F$ | 시간영역 $f(x)$ | 거동 |
|---|---|---|---|
| 실수 $s=a<0$ (좌반면 축 위) | $\dfrac{1}{s-a}$ | $e^{ax}$ | 지수 감쇠 |
| 실수 $s=a>0$ (우반면 축 위) | $\dfrac{1}{s-a}$ | $e^{ax}$ | 지수 발산 |
| 원점 $s=0$ | $\dfrac1s$ | $1$ | 상수(계단) |
| 허수축 켤레쌍 $s=\pm i\beta$ | $\dfrac{s}{s^2+\beta^2},\ \dfrac{\beta}{s^2+\beta^2}$ | $\cos\beta x,\ \sin\beta x$ | 지속 진동 |
| 좌반면 켤레쌍 $s=\alpha\pm i\beta,\ \alpha<0$ | $\dfrac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2}$ | $e^{\alpha x}\sin\beta x$ | 감쇠 진동 |
| 우반면 켤레쌍 $\alpha>0$ | 같은 꼴 | $e^{\alpha x}\sin\beta x$ | 성장 진동 |
| 이중극점 $s=a$ (중복) | $\dfrac{1}{(s-a)^2}$ | $x\,e^{ax}$ | $x$배 곱해진 거동 |
7.2 Reading Stability — 안정성 읽기
- 모든 극점이 좌반면($\operatorname{Re}s<0$) → 모든 항이 $e^{\alpha x}\to0$, 해는 감쇠(안정).
- 극점이 하나라도 우반면($\operatorname{Re}s>0$) → 그 항이 발산, 해는 불안정.
- 극점이 허수축 위($\operatorname{Re}s=0$, 단순)에 있으면 → 죽지도 커지지도 않는 지속 진동/상수(경계).
$Y(s)=\dfrac{s+3}{(s+1)(s^2+4)}$의 극점·영점을 s-평면에서 찾고, 해가 감쇠하는지 판정하라.
풀이 보기
영점: $s=-3$. 극점: $s=-1$(좌반면), $s=\pm 2i$(허수축).
$s=-1$ 항은 $e^{-x}$로 감쇠하지만, $s=\pm2i$ 항은 $\cos2x,\sin2x$로 죽지 않는 지속 진동.
답. 완전 감쇠는 아니다 — 과도 성분은 사라지고 정상상태로 진폭 일정한 $2$ rad 진동이 남는다(경계적 안정).
§8Basic Transform Table — 기본 변환표
모든 계산의 출발 재료입니다. 외워야 할 5줄.
| $f(x)$ | $F(s)=\mathcal{L}\{f\}$ | 극점 위치 |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ | $s=0$ ($n{+}1$차 극점) |
| $e^{ax}$ | $\dfrac{1}{s-a}$ | $s=a$ |
| $\cos\beta x$ | $\dfrac{s}{s^2+\beta^2}$ | $s=\pm i\beta$ (허수축) |
| $\sin\beta x$ | $\dfrac{\beta}{s^2+\beta^2}$ | $s=\pm i\beta$ (허수축) |
| $\cosh\beta x$ | $\dfrac{s}{s^2-\beta^2}$ | $s=\pm\beta$ (실수축) |
| $\sinh\beta x$ | $\dfrac{\beta}{s^2-\beta^2}$ | $s=\pm\beta$ (실수축) |
$\cos\beta x=\tfrac12(e^{i\beta x}+e^{-i\beta x})$. 각 항을 $\mathcal{L}\{e^{ax}\}=\frac1{s-a}$에 $a=\pm i\beta$로 넣으면 $$\tfrac12\!\left(\frac1{s-i\beta}+\frac1{s+i\beta}\right)=\frac{s}{s^2+\beta^2}.$$ 극점은 정확히 $s=\pm i\beta$ — 순허수라서 "감쇠 없는 지속 진동"이 됩니다. §7 사전과 일치.
§9Operational Properties — 도함수·연산 성질
변환표가 "재료"라면, 성질은 "조리법"입니다. 특히 도함수 성질이 미분방정식을 대수로 바꾸는 엔진입니다.
$$\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0),\qquad \mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0).$$ 증명(1차): 부분적분 $\int_0^\infty e^{-sx}f'dx=[e^{-sx}f]_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-sx}f\,dx$. 위끝 $e^{-sb}f(b)\to0$, 아래끝 $-f(0)$ → $sF(s)-f(0)$. $\square$
"미분 한 번 → $s$ 한 번 곱하고 초기값 빼기." 초기조건 $f(0),f'(0)$이 변환 단계에서 자동으로 들어간다는 점이 결정적입니다.
| 연산 ($x$-영역) | 결과 ($s$-영역) | 이름 |
|---|---|---|
| $f'(x)$ | $sF(s)-f(0)$ | 도함수 |
| $f''(x)$ | $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ | 2계 도함수 |
| $x\,f(x)$ | $-F'(s)$ | $s$-미분 |
| $\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ | $\dfrac{F(s)}{s}$ | 적분 |
| $\dfrac1x f(x)$ | $\displaystyle\int_s^\infty F(r)\,dr$ | $s$-적분 |
| $e^{ax}f(x)$ | $F(s-a)$ | 1차 이동(§10) |
| $f(x-a)\,u(x-a)$ | $e^{-as}F(s)$ | 2차 이동(§11) |
$\mathcal{L}\{x f\}=-F'(s)$에 $F=\frac{\beta}{s^2+\beta^2}$: $$-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{\beta}{s^2+\beta^2}\right)=\frac{2\beta s}{(s^2+\beta^2)^2}.$$ (분모가 제곱 → 이중극점 → 시간영역에 $x$가 곱해진 진동, §7 사전과 합치.)
§10First Shifting Theorem — 1차 이동정리 ($s$-이동)
$$\boxed{\;\mathcal{L}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a)\;}$$ 증명: 정의에 $e^{ax}$를 넣으면 $\int_0^\infty e^{-sx}e^{ax}f\,dx=\int_0^\infty e^{-(s-a)x}f\,dx=F(s-a)$. 지수끼리 묶이는 것이 전부. $\square$
s-평면 해석이 가장 아름다운 정리입니다. $e^{ax}$를 곱하는 일은 $s$-평면에서 $F$의 모든 극점을 오른쪽으로 $a$만큼 평행이동하는 것과 같습니다($s\mapsto s-a$). 즉 진동에 감쇠 입히기 = 극점을 좌측으로 끌어오기.
$\cos\beta x$의 극점은 허수축 $\pm i\beta$. 여기에 $e^{\alpha x}$를 곱하면 극점이 $\alpha\pm i\beta$로 이동: $$\mathcal{L}\{e^{\alpha x}\cos\beta x\}=\frac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2+\beta^2},\qquad \mathcal{L}\{e^{\alpha x}\sin\beta x\}=\frac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2}.$$ $\alpha<0$이면 극점이 좌반면 → 감쇠 진동. 역변환 때 이 꼴을 거꾸로 읽는 것이 §14의 "완전제곱" 기법입니다.
$\mathcal{L}\{e^{-2x}\sin 3x\}$를 구하라.
풀이 보기
$\mathcal{L}\{\sin3x\}=\dfrac{3}{s^2+9}$. $e^{-2x}$ 곱 → $s\to s+2$:
답. $\dfrac{3}{(s+2)^2+9}$. (극점 $-2\pm3i$, 좌반면 → 감쇠 진동.)
§11Second Shifting & Heaviside — 2차 이동정리와 단위계단
$$u(x-a)=\begin{cases}1,&x\ge a\\[2pt]0,&x<a\end{cases}$$ 신호를 시각 $a$에 켜는 스위치. 펄스 $u(x-a)-u(x-b)$는 구간 $[a,b)$에서만 1 — 켰다가 끄기. 불연속·구간별 강제항을 깔끔하게 한 식으로 적게 해줍니다.
$a>0$에 대해 $$\boxed{\;\mathcal{L}\{f(x-a)\,u(x-a)\}=e^{-as}F(s)\;}$$ 증명: $u$가 $x<a$를 0으로 잘라 적분이 $[a,\infty)$로 줄고, $\tilde x=x-a$ 치환: $$\int_a^\infty e^{-sx}f(x-a)\,dx=\int_0^\infty e^{-s(\tilde x+a)}f(\tilde x)\,d\tilde x=e^{-as}\int_0^\infty e^{-s\tilde x}f(\tilde x)\,d\tilde x=e^{-as}F(s).\ \square$$
$f=1\Rightarrow F=\frac1s$. 2차 이동으로 $\mathcal{L}\{u(x-a)\}=\mathcal{L}\{1\cdot u(x-a)\}=e^{-as}\cdot\frac1s=\dfrac{e^{-as}}{s}$.
§12Dirac Delta — 디랙 델타와 충격응답
폭 $\kappa$, 넓이 1인 단위 펄스 $$P_\kappa(x-a)=\frac{u(x-a)-u(x-a-\kappa)}{\kappa}$$ 에서 $\kappa\to0$ 극한이 Dirac 델타 $\delta(x-a)$. 한 순간 $x=a$에 가해지는 "이상적 충격"(망치질·전압 스파이크)을 모델링합니다.
$$\mathcal{L}\{\delta(x-a)\}=e^{-as}\qquad(a\ge0).$$ 펄스의 변환 $\frac{1}{\kappa s}(e^{-as}-e^{-(a+\kappa)s})$에서 $\kappa\to0$ 극한(로피탈)으로 $e^{-as}$. 특히 $a=0$이면 $\mathcal{L}\{\delta(x)\}=1$.
$y''+y=\delta(x-a),\ y(0)=y'(0)=0$. 변환하면 $(s^2+1)Y=e^{-as}$, 즉 $Y=\dfrac{e^{-as}}{s^2+1}$. $\frac1{s^2+1}\leftrightarrow\sin x$에 2차 이동 → $$y(x)=\sin(x-a)\,u(x-a).$$ 충격 전엔 정지, $x=a$ 이후 진폭 1로 진동 시작. 일반해를 더하면 $y=\sin(x-a)u(x-a)+A\cos x+B\sin x$.
§13Solving IVPs with Laplace — 라플라스로 초기값 문제 풀기
이제 도구를 모읍니다. Laplace 풀이는 항상 3단계입니다.
- 변환 — 양변에 $\mathcal{L}$. 도함수 성질로 $y\to Y(s)$, 초기값이 자동 삽입.
- 대수 — $Y(s)$에 대해 푼다(그냥 분수식 정리). $Y(s)=\dfrac{(\text{초기값·강제항})}{(\text{특성다항식})}$.
- 역변환 — 부분분수로 쪼개 표를 거꾸로 읽어 $y(x)$.
장점: 비동차해를 따로 구할 필요 없이 초기값 문제를 한 번에 풉니다. 특히 불연속·충격 강제항에 압도적으로 강합니다.
$y''+3y'+2y=1,\quad y(0)=y'(0)=0$.
① 변환: 초기값이 0이라 $s^2Y+3sY+2Y=\dfrac1s$, 따라서 $$Y(s)=\frac{1}{s(s^2+3s+2)}=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.$$ 극점은 $s=0,-1,-2$ — $-1,-2$는 특성근(좌반면, 감쇠), $0$은 강제항이 만든 극점(정상상태).
② 부분분수: $\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}=\dfrac{1/2}{s}-\dfrac{1}{s+1}+\dfrac{1/2}{s+2}$.
③ 역변환: $$y(x)=\tfrac12-e^{-x}+\tfrac12e^{-2x}.$$ $x\to\infty$에서 과도항 $e^{-x},e^{-2x}$가 죽고 정상상태 $\tfrac12$만 남습니다 — 좌반면 극점은 사라지고, 원점 극점이 최종값을 정합니다.
$y''+y=u(x-\pi),\ y(0)=y'(0)=0$ — 시각 $\pi$부터 일정한 힘이 켜짐. 변환: $$(s^2+1)Y=\frac{e^{-\pi s}}{s}\ \Rightarrow\ Y=e^{-\pi s}\cdot\frac{1}{s(s^2+1)}.$$ $\frac{1}{s(s^2+1)}=\frac1s-\frac{s}{s^2+1}\leftrightarrow 1-\cos x$. 2차 이동으로 시간 지연 → $$y(x)=\bigl(1-\cos(x-\pi)\bigr)u(x-\pi).$$ $x<\pi$엔 정지, 이후 평형 1을 중심으로 진동. $e^{-as}$ 인자 → 답에 $u(x-a)$와 "$x\to x-a$" 지연이 따라온다는 패턴을 기억.
§14Inverse Transform & Partial Fractions — 역변환과 부분분수
역변환 $\mathcal{L}^{-1}\{F\}=f$는 "표를 거꾸로" 입니다. 유리함수는 극점 종류에 따라 세 가지 패턴.
14.1 Distinct Real Poles — 서로 다른 실수 극점
$\dfrac{N(s)}{(s-a)(s-b)\cdots}=\dfrac{A}{s-a}+\dfrac{B}{s-b}+\cdots$. 계수는 cover-up: $A=\bigl[(s-a)F\bigr]_{s=a}$. 각 조각 $\to A e^{ax}$.
14.2 Repeated Poles — 중복 극점
$\dfrac{1}{(s-a)^2}\leftrightarrow x e^{ax}$, $\dfrac{1}{(s-a)^3}\leftrightarrow \tfrac{x^2}{2}e^{ax}$. 분해 시 $\dfrac{A}{s-a}+\dfrac{B}{(s-a)^2}$처럼 차수별로 모두 둡니다.
14.3 Complex Poles — Complete the Square — 켤레 극점: 완전제곱
분모에 $s^2+ps+q$ ($p^2<4q$, 실근 없음)가 있으면 인수분해하지 말고 완전제곱으로: $$s^2+ps+q=(s+\tfrac p2)^2+\Bigl(q-\tfrac{p^2}{4}\Bigr).$$ $\alpha=-\frac p2$, $\beta=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$로 두면 §10의 감쇠 진동 꼴이 보입니다.
$F(s)=\dfrac{s+3}{s^2+2s+5}$. 분모 $=(s+1)^2+4$, 분자 $s+3=(s+1)+2$: $$F=\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}+\frac{2}{(s+1)^2+2^2}\ \Rightarrow\ f(x)=e^{-x}\cos2x+e^{-x}\sin2x.$$ 극점 $-1\pm2i$(좌반면) → 감쇠 진동. s-평면 위치를 읽으면 답 모양이 미리 보입니다.
$\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^2-s-6}\right\}$를 구하라.
풀이 보기
$s^2-s-6=(s-3)(s+2)$. 부분분수 $\dfrac{1}{5}\!\left(\dfrac{1}{s-3}-\dfrac{1}{s+2}\right)$.
답. $\tfrac15\bigl(e^{3x}-e^{-2x}\bigr)$. (극점 $s=3$이 우반면 → 발산항 존재.)
§15Exam Cheat Sheet — 시험 직전 한눈 카드
$\mathcal{L}\{x^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$, $\ \mathcal{L}\{e^{ax}\}=\dfrac{1}{s-a}$, $\ \mathcal{L}\{\cos\beta x\}=\dfrac{s}{s^2+\beta^2}$, $\ \mathcal{L}\{\sin\beta x\}=\dfrac{\beta}{s^2+\beta^2}$, $\ \mathcal{L}\{\delta(x-a)\}=e^{-as}$, $\ \mathcal{L}\{u(x-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}$.
$\mathcal{L}\{f'\}=sF-f(0)$, $\ \mathcal{L}\{f''\}=s^2F-sf(0)-f'(0)$, $\ \mathcal{L}\{e^{ax}f\}=F(s-a)$, $\ \mathcal{L}\{f(x-a)u(x-a)\}=e^{-as}F$, $\ \mathcal{L}\{xf\}=-F'(s)$.
극점 위치 = 해의 운명. 왼쪽(Re<0)=감쇠, 오른쪽(Re>0)=발산, 허수축=지속 진동, 실수부=감쇠율, 허수부=진동수. $Y$의 극점 = 특성근 = 고유값. 완전제곱 $(s-\alpha)^2+\beta^2$ → $e^{\alpha x}(\cos/\sin)\beta x$.
① 양변 $\mathcal{L}$(초기값 자동 삽입) → ② $Y(s)$ 풀기 → ③ 부분분수+완전제곱 → ④ 표 거꾸로 읽기. $e^{-as}$ 보이면 답에 $u(x-a)$·시간지연.
§16Exercise Bank — 종합 연습문제
정의 적분으로 다음을 구하고 수렴역을 적어라: (a) $\mathcal{L}\{1\}$, (b) $\mathcal{L}\{e^{-4x}\}$, (c) $\mathcal{L}\{x\}$.
(a) $\int_0^\infty e^{-sx}dx=\frac1s\ (s>0)$. (b) $\int_0^\infty e^{-(s+4)x}dx=\frac1{s+4}\ (s>-4)$. (c) 부분적분 또는 $\frac{n!}{s^{n+1}}$에 $n=1$: $\frac1{s^2}\ (s>0)$.
구하라: (a) $\mathcal{L}\{e^{2x}x^3\}$, (b) $\mathcal{L}\{e^{-x}\cos4x\}$.
(a) $\mathcal{L}\{x^3\}=\frac{6}{s^4}$, $s\to s-2$: $\dfrac{6}{(s-2)^4}$.
(b) $\mathcal{L}\{\cos4x\}=\frac{s}{s^2+16}$, $s\to s+1$: $\dfrac{s+1}{(s+1)^2+16}$. (극점 $-1\pm4i$.)
$f=\sin\beta x$는 $f''=-\beta^2 f$, $f(0)=0$, $f'(0)=\beta$를 만족한다. 도함수 성질만으로 $\mathcal{L}\{\sin\beta x\}$를 유도하라.
$\mathcal{L}\{f''\}=s^2F-sf(0)-f'(0)=s^2F-\beta$. 한편 $\mathcal{L}\{-\beta^2 f\}=-\beta^2F$. 같다고 두면 $s^2F-\beta=-\beta^2F$ → $F(s^2+\beta^2)=\beta$ → $F=\dfrac{\beta}{s^2+\beta^2}$. ∎
(a) $\mathcal{L}\{(x-2)^2u(x-2)\}$, (b) $\mathcal{L}\{u(x-1)-u(x-3)\}$(펄스)를 구하라.
(a) $f(x)=x^2\Rightarrow F=\frac{2}{s^3}$. 2차 이동: $e^{-2s}\cdot\frac{2}{s^3}=\dfrac{2e^{-2s}}{s^3}$.
(b) $\mathcal{L}\{u(x-1)\}-\mathcal{L}\{u(x-3)\}=\dfrac{e^{-s}-e^{-3s}}{s}$.
$\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s+1}{s^2+3s+2}\right\}$.
$s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$. $\dfrac{2s+1}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}$. cover-up: $A=[2s+1]_{s=-1}/(s+2)|_{-1}=(-1)/(1)=-1$, $B=[2s+1]_{s=-2}/(s+1)|_{-2}=(-3)/(-1)=3$.
답. $-e^{-x}+3e^{-2x}$. (두 극점 모두 좌반면 → 감쇠.)
$\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s-1}{s^2+4s+13}\right\}$.
분모 $=(s+2)^2+9$. 분자 $s-1=(s+2)-3$: $$\frac{s+2}{(s+2)^2+3^2}-\frac{3}{(s+2)^2+3^2}.$$
답. $e^{-2x}\cos3x-e^{-2x}\sin3x$. (극점 $-2\pm3i$, 좌반면 → 감쇠 진동.)
$y'+2y=e^{-x},\ y(0)=0$을 Laplace로 풀어라.
$sY+2Y=\frac{1}{s+1}$ → $Y=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}$.
답. $y(x)=e^{-x}-e^{-2x}$. (검산: $y(0)=0$ ✓.)
$y''+4y=\delta(x-1),\ y(0)=y'(0)=0$을 풀어라.
$(s^2+4)Y=e^{-s}$ → $Y=e^{-s}\cdot\dfrac{1}{s^2+4}$. $\frac{1}{s^2+4}\leftrightarrow\frac12\sin2x$. 2차 이동:
답. $y(x)=\tfrac12\sin\bigl(2(x-1)\bigr)\,u(x-1)$. ($x<1$ 정지, 이후 진동.)
다음 $Y(s)$의 극점을 s-평면에 표시하고 $x\to\infty$ 거동을 말하라: (a) $\dfrac{1}{(s+2)(s+5)}$, (b) $\dfrac{s}{s^2+9}$, (c) $\dfrac{1}{(s-1)(s+3)}$.
(a) 극점 $-2,-5$ 모두 좌반면 → 감쇠해 $0$. 안정.
(b) 극점 $\pm3i$ 허수축 → $\cos3x$ 지속 진동. 경계(죽지 않음).
(c) 극점 $+1$(우반면), $-3$ → $e^{x}$ 항이 발산. 불안정.
$y''+y=u(x-2),\ y(0)=y'(0)=0$을 풀어라.
$(s^2+1)Y=\frac{e^{-2s}}{s}$ → $Y=e^{-2s}\dfrac{1}{s(s^2+1)}$. $\frac{1}{s(s^2+1)}=\frac1s-\frac{s}{s^2+1}\leftrightarrow 1-\cos x$. 2차 이동:
답. $y(x)=\bigl(1-\cos(x-2)\bigr)u(x-2)$.
끝. Laplace의 한 줄 요약 — 미분을 $s$ 곱셈으로 바꿔 대수로 풀고, 극점의 s-평면 위치로 해를 읽는다.
왼쪽은 감쇠, 오른쪽은 발산, 허수축은 진동.